好了，前面吹了一堆函數多好多好，現在我們來看看，到底什麼是函數。
函數，我們最常用英文的f表示，當然，你高興，用什麼也都可以。
要討論一個函數，我們需要兩個集合。我就暫把它叫A集合和B集合好了。這集合一個我們叫它定義域，一個叫值域（我知道你快睡著了，忍耐一下）。我們常常會選擇A集合或B集合是「所有實數的集合」，不過其實也不一定要這樣。我們高興也可以選所有人的集合，所有日期的集合，一隻狗一隻貓的集合，等等。就看你想定什麼樣的函數。
總之，我們要有兩個集合：
函數其實只是這兩個集合的一個關係。也就是說，我們怎麼樣把A集合的元素，對映到B集合裡的元素，並且合乎兩個條件，就可以了。
用符號表示，假如說x是在A裡面的一個元素，我們一定要有一個在y裡面的元素和它對應。我們把這個y就計成f(x)。這種對映要符合的條件是：
舉例來說，我們以前可能以為函數都是長類似這樣
f(x)=3x+8
這裡的定義域A，質域B都是實數。那任何在A裡的x，都對到一個在B裡的元素，就是3x+8。比方說，2就對到14，3就對到17等等。
但。是。重點來了。
沒人說你一定要用數字。比方說，我們可以定義下面這個函數
A：｛1,2｝ Ｂ：｛狗，貓，豬｝
在Ａ裡只有兩個元素，１和２。我們可以定一個函數f，把１對到狗，２對到貓。也就是
f(1)=狗，f(2)=貓
等等。當然也可以用別的定義。
就算我們用數字當定義域和質域，我們也常常寫不出像f(x)=3x+8這種式子來。但是，我們常常可以判斷這個東西是不是函數。
換句話說：
幾乎你想知道的事情，都表示成函數的形式，但是我們不一定知道這個函數長什麼樣子！
但是，這也不是那麼絕望的。很多函數，我們都可以算出來，或是做一個不錯的模擬。很多的學科，說穿了就是在教你怎麼樣做更好的模擬！