什麼是Stacks?

Stacks大概是1960年代，Grothendieck（又。是。他！）開始的概念。剛開始的時候，當然是遭到和另一個他的概念schemes（概形）一樣的命運﹣﹣大家認為太複雜，不可能有用處。不過，經過數十年來數學家的努力，schemes已經成了代數幾何的標準概念，而且從某些角度來說， schemes 其實比 algebraic varieties（代數簇）更「自然」。Stacks其實也是這樣。它是在某種角度來說，比schemes 更「自然」，更「方便」的結構。

我們簡單的說，代數幾何主要研究的對象就是代數簇。不要被這怪怪的名字嚇到，它只是一組多項式，f1, f2, ..., fn的共同解的集合。那概形呢？概念上來說，就是把幾個代數簇「粘」起來。這種事情我們在數學上也不是第一次做。比方說我們把標準的歐氏空間粘起來，就成了流型。再下一步，也許有人已經猜到了，就是把概形給他粘起來，就成了一個stack。

所以說呢，概形就是代數簇的概念再更一般化，而stacks就是把概形再更一般化。我們大概有右邊這樣的包含關係。

我這裡要說明，其實這樣的包含關係，嚴格說起來是錯誤的！學過基本代數幾何課程的人就知道，其實代數簇並不直接是一個概形，而是有一個「相對應」的概形。同樣的情況，也從概形到stacks。一個概形並不是一個stack，但是有一個相對應的stack。很多「好的」stack其實也就有一個相對應的概形。所以呢，很多教授都告訴學生，「別擔心stack，它差不多就是一個概形。」

對於許多人來說，上面的解說已經差不多足夠了。也就是說呢，stacks並不是那麼可怕。

好。但是。問題就在後面。

「Stacks到底是什麼？」

如果上面胡說八道的內容，還沒有滿足你的好奇心，那麼，問題就大了。為什麼stacks看來簡單的概念，卻到近年來才大大流行，其實是有原因的。這其中的一個原因就是，stacks要概說容易，真要說stacks是什麼，還真是不容易。我看到有兩大類的方式去說明：

• 從定義開始：這說得容易，看來也有理。但是呢，我敢說，大部份的人看到定義，都完全不知道它在說什麼。更不要說，這定義本身還有許多細節。最後的結果，就是在你終於弄懂定義，還是不知道stacks是什麼？
• 從例子開始：因為從定義開始，有點困難，所以很多stacks的專家都建議要從例子教。這其實也有點問題。有些人就這樣學了一堆例子，也似有似無的有了些概念。不過，還是說不出來stacks是什麼。