Cohomology是一個非常基本而重要的數學概念。代數幾何裡面處理的cohomology通常是sheaf的cohomology。Sheaf cohomology的定義方式看起來比平常複雜那麼一點點，不過一旦我們定好了，以前古典的cohomology，比方說deRham cohomology都只是一個特例。
麻煩的地方不只是定義煩一點。還有不同的方式去定義。至少有三種不同的方法去做：
我們將會著重在Grothendieck用derived functor的方式，因為這是最一般化的定義，而且理論上來說也是最合適的。不過呢，這樣的定義很難計算，所以我們還是需要其他的方式輔助。
我們假設大家瞭解category的基本概念，也知道functor是什麼（簡單說，就是兩個categories之間的map）。
我們要討論derived functors，必需在abelian categories上討論。Abelian category「真正」的定義在Hartshorne的"Algebraic Geometry"等等的書裡有，我們這裡不說明細節，大致上你可以想成這樣：
一個Abelian Category「大概是」一個等價於交換群category的subcategory。
你如果查了書就會發現真正的定義和上面的「定義」很難連接起來。不過，為了快快定義cohomology，我們不做太多的討論。我們直接看什麼category是我們常用的abelian category，或許比較實用。
(1) abelian groups形成的category。
(2) 佈於環A上modules所成的category。
(3) 在X上所有的sheaves所成的category。
(4) 在一個ringed space(X, Ox)上，所有Ox-module sheaves所成的集合。
(5) 同上，但只考慮quasi-coherent sheaves。
(6) 同(4)，但只考慮coherent sheaves，並且要求X是noetherian scheme。
我們快速的複習一下傳統的cohomology。