有一堆方程式，要去求解，是數學上很重要的事情。這應用當然很多很多，不過今天我們先不談，大家先假裝知道很重要就是了。
如果我們有一組線性方程式，我們有一個有系統的方法去求解，那就是我們在線性代數學的高斯消去法。
高斯消去法很好用。我們不但可以求解，也知道什麼時候沒有解，什麼時候有唯一解等等。
好，那我們進步一點，那些方程式不一定要線性的。比方說，一組多項式要求解。聽來是不是挺初級的問題？一般來說，數學上我們聽得懂的問題，大概都在幾百年前被解決了。不過呢，這個問題居然到了1965年左右，才由Buchberger發明了Groebner Basis去解決這個問題。所以，大概的說來，我們可以說：
我們一樣會有個有系統的方法，一樣可以求出是不是有解等等。這當然是非常有用的。而且呢，平常我們在數學研究所，剛開始學的還是了不起十九世紀的東西。然後幾年後才慢慢慢慢的走向近代。所以呢，通常1965年代的數學理論，都是挺深的，恐怕博士班的也不一定完全瞭解。
但是呢，Groebner基底其實是很容易的概念。它基本上就用一般化的高斯消去法！這麼容易的東西，居然要到1965年才被想出來，也是挺奇特的（當然，熟知代數幾何和Groebner基底的人，可能會知道大概的原因）。我強烈的相信，Groebner基底應該要放在大學部的數學當中。和微積分，線性代數一樣，都是每一位數學系和其他科系準備使用數學的基本技巧。
這是我想要寫這篇文章的主要原因。
其實談Groebner基底，不一定要說太多代數幾何的東西。不過呢，這裡為了要讓大家知道，Groebner其實有很多深厚的意義，也許會讓更多人有興趣，所以簡單的說明一下。
很多人聽說代數幾何很難。其實代數幾何主要要討論的就是代數簇（Algebraic Variety）。這代數簇難的地方是難在名字。其實一個代數簇沒什麼了不起，簡言之就是一組多項式共同的零解（有沒有看到「多項式」？所以和Groebner基底就有關了）。比方說我們考慮一個體，啊，不用昏倒，就來個複數C好了（還是不喜歡R也可以，不過C其實比較容易）。我們有個白痴的多項式
f(x)=x
這個白痴多項式的解集合就是 {0}！也就是這個多項式定義的一個代數簇。
沒什麼了不起吧？當然，聰明的你也知道，如果多項式多起來，要找解集合也就給它難一點了。不過呢，要找解集合也就是我們討論Groebner基的底的因嘛。我們再細說分明之前呢，我先來解釋一些名詞。這些只是為了方便說明。
是所有在複數上，有X_1, X_2, ..., X_n這n個變數多項式的集合。所有的多項式，包括那些騙人的常數啦，零啦都算。
n度的複數空間。沒什麼了不起，就是所有這種(c_1, c_2, ..., c_n)這種串列的集合。c_1, c_2, ..., c_n當然都是在C裡面。
其實很多人開始注意Groebner基底這種相當簡單，卻又重要的概念。有些代數課本已經放進了Groebner基底。我也不時看到台灣有人在討論這個問題。再加上，我這篇還沒寫好的文章，居然在Google很容易被找到... 我的文章容易被找到這個事實，也讓我深深感覺到，文章寫到一半就放在網站上，是不道德的... 好在，我找到一些包括中文的資訊，可以方便有興趣的朋友參考：
首先，是台北市立師院的李源順教授刊在《數學傳播》的文章，「淺談多元多次方程」。這篇文章正是討論Groebner基底的。你可以到數學傳播的網站上免費下載這篇文章。
http://www.math.sinica.edu.tw/math_media/vol.phtml?voln=271
再來是我認為相當簡單賅要介紹Groebner Basis和基本性質的英文網站：
http://www.geocities.com/CapeCanaveral/Hall/3131/g_bases.html
同時有線上Java程式，可以用來算算Groebner基底。