三囚人問題と三囚人変形問題



三囚人問題と三囚人変形問題というのがあるらしい。有名みたいだけど、自分はつい最近知ったので、とりあえずここに書いてみる。内容は以下の通りです。

三人の囚人A、B、Cがいて、全員死刑になる予定だったが、恩赦で一人だけ助かることになった。残る二人は処刑。助かる人はクジ引きで決めるので確率はそれぞれ三分の一。つまり、三人の囚人A、B、Cのうち、誰か一人が三分の一の確率で助かる事になった。

処刑の前日。既に誰が処刑されるかは囚人三人以外には知らされている。囚人Aが、看守に、「どうせ自分が助かろうが助からなかろうがBかCのどちらかは処刑なんだから、BとCのうち処刑される人を教えてくれ」と頼んだ。看守は、それはそうだと思い、囚人Aに「Bは処刑されるよ」と答えた。

それを聞いた囚人Aは「残りは自分かCのどちらか二人のうち一人が処刑されるのだから、自分の助かる確率が二分の一になった！」と喜んだ。

もしAが助かる場合、看守が処刑確定をBまたはCと答える確率は、それぞれ二分の一とする。果たして、この囚人Aの考え方は正しいのだろうか？

答えは「正しくない」。看守の答えを聞いた時点で、Aが助かる確率は、やっぱり三分の一のままである。

以上が、三囚人問題。

次に三囚人変形問題。三人のうち一人が助かるのは同じなんだけど、罪の重さを考えて、Aが助かる確率は1/4、Bも1/4、Cだけ1/2という事になった。助かる人が書かれたクジは四本あって、Aが一本、Bが一本、Cが二本である。既にクジは引かれていて、三人の囚人以外は誰が処刑されるか知っている。

やはり、囚人Aが看守に「BかCのうち、処刑される方を教えてくれ」と頼み、看守は「Bは処刑されるよ」と答えた。

それを聞いた囚人Aは「残りは自分かCのどちらか二人のうち一人が処刑されるのだから、自分の助かる確率が二分の一になった！」と喜んだ。

もしAが助かる場合、看守が処刑確定をBまたはCと答える確率は、それぞれ二分の一とする。果たして、この囚人Aの考え方は正しいのだろうか？

答えは「正しくない」。看守の答えを聞いた時点で、Aが助かる確率は、なんと五分の一である。最初の1/4より低くなっている。

以上が、三囚人変形問題。

なんでそうなるのか答えが知りたい場合は、Googleで調べてみてください。看守は絶対に「君（A）が処刑されるよ」と言わないところがポイント。

（追記：なんか色々と間違ってたんで修正しました。）

Posted: 木 - 8月 11, 2005 at 11:17 午後        

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