حل الأنظمة الخطية ( تابع )
في هذه المحاضرة سوف نتعرض للحالة العامة ( الاشمل ) لحل الانظمة الخطية
حيث: A = n x n , B = n x m, x(t) = n x 1 , u(t) = m x 1
لنفرض بأن f (t) هي مصفوفة الحل للمعادلة التفاضلية :-
حيث I تعرف بالمصفوفة الأحادية n x n ، وباستخدام تحويل لا بلاس نستطيع تحويل المعادلة السابقة على الشكل التالي :-
والتي هي عبارة عن معكوس تحويل لا بلاس
* ونستطيع أيضا أن نعرفf (t) بأنها مساوية لرمز المجموع المتقارب إلى اللانهاية التالي والذي يحقق مصفوفة المعادلة التفاضلية :-
* ولاحظ بأننا نستطيع استخدام f (t) كمعامل التكامل على النحو التالي :-
* لاحظ انه في أحد الخطوات السابقة تم استخدام خاصية التبديل (نستبدل f (t) ب A )
حيث : Af (t)= f (t)Aوباستخدام رمز المجموع لـf (t) ، نستطيع ملاحظةهذه الحقيقة بسهولة .
وبطريقة مشابهة للحالة القياسية نصل إلى المعادلة التالية :-
وبالتالي نصل إلى الحالة العامة ( الحل العام ) ، مع الشرط الابتدائي الذي يعطى في السؤال عند النقطة to
حيث
:
معادلة انتقال الحرارة:
وتسمى
هذه المعادلة الصيغة العامة للمصفوفات و الكميات القياسية لتغير الحالة و تسمى
المصفوفة
(
مصفوفة انتقال الحالة)
مثال (1) : جد حل مصفوفة المعادلة التفاضلية التالية :-
الحـل : في البداية نجد
وبما أن (u(t) = 0) نلاحظ بأن النظام غير مدفوع بقوة خارجية ( لا يوجد مدخل ) وبالتالي فإن معادلة انتقال الحالة
وبالتالي فإن حل هذه المعادلة يعطي على الشكل التالي :-
مثال (2) : جد حل المعادلة التفاضلية التالية حيث المدخل لا يساوي صفر:-
u(t) = sin2t : حيث
الحـل : من المثال السابق
باستخدام معادلة انتقال الحالة
حل المعادلة التفاضلية :