حل الأنظمة الخطية

  تهدف هذه المحاضرة إلى دراسة بعض الطرق المستخدمة لحل المعادلات التفاضلية الخطية ، وتحديداً ستتركز هذه   المحاضرة على تلك المعادلات التفاضلية التي ظهرت من تشكيل الأنظمة الميكانيكية الخطية مثل نظام ( النابض – الكتلة ) .

 فعلى سبيل المثال لدينا المعادلة التفاضلية التالية :-

 لحل هذه المعادلة التفاضلية ( إيجاد y(t)  الذي يحقق المعادلة ) ، نحتاج إلى ثلاثة شروط ابتدائية كالآتي :-

                        في البداية نقوم بكتابة تمثيل الحالة لهذه المعادلة مع اعتبار متغيرات الحالة كالآتي :-

                     الشروط الابتدائية للمعادلة    و باستخدام نظام المصفوفات نحصل على

                      و هذا يعطينا الشكل العام :-    

                      حيث :

و قبل التعرض إلى إيجاد حل هذه المعادلة ( و التي تمثل حالة عامة ) سوف نقوم بإيجاد الحل لابسط حالة حيثx(t) و u(t) كميات قياسية)غير متجهة) وهذا يعطينا A = a و B = b أيضا كميات قياسية

وإذا اعتبرنا معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى على الشكل الآتي :-

  بضرب كلا الطرفين بـ

و بأخذ التكامل بالنسبة للزمن

المعادلة الأخيرة تعرف بـ (الصيغة القياسية للقيم المتغيرة ) وتتكـون من :-

مثال : جد حل المعادلة التفاضلية ( القياسية ) المعطاة أعلاه

المدخل

باستخدام الصيغة القياسية للقيم المتغيرة نجد أن :-