تحويل لابلاس

·  في المحاضرة السابقة تم شرح كيفية استخدام تحويل لا بلاس في حل معادلة تفاضلية اعتيادية، لاحظنا بأن تحويل لا بلاس العكسي كان ضرورياً لحل المسألة، في هذه المحاضرة سوف نتعرض إلى كيفية الحصول على تحويل لا بلاس العكسي .

الطريقة المثلى لعكس تحويل لا بلاس هي تحويل الاقتران المراد عكسه إلى مجموعة من الاقترانات التي يعرف تحويل لا بلاس لكل منها ، بإستخدام خاصية الخطية لتحويل لا بلاس،  يمكن عكس الاقتران مباشرة حيث أن معكوسه سيكون مجموع الدوال ( الاقترانات ) الزمنية المتعلقة به .

ملاحظه : يمكن الحصول على تحويل لا بلاس العكسي من خلال الجدول الموجود في هذا الموقع تحت قائمة (supplementary) ولقد تم اشتقاق بعض هذه العلاقات في المحاضرة السابقة .

·  تحويل لا بلاس لحاصل ضرب الدالة بأس :-

إذا كان

فان

البرهان :-

تبين هذه الخاصية بأن الضرب بدالة اسية ( زمنية بالنسبة للزمن ) يقابلها إزاحة في معامل لا بلاس (S) .

مثال (1) : جد تحويل لا بلاس لكل من الاقترانات ( الدوال ) التالية :-

نستطيع إيجاد تحويل لا بلاس لكل من (t) و (sin2t) باستخدام جدول تحويل لا بلاس في الفرع(أ ) نحتاج لإزاحة (S) بمقدار 3 وبمقـدار –1 في الفرع ( ب ) ، لذلك فأن تحويل لا بلاس لكل من الاقترانين السابقتين كالآتي :-         

·  الأمثلة التالية توضح التقنيات والأساليب لعكس تحويلات لا بلاس ، بحيث يمثل كل منها شكل محدد لتحويل لا بلاس ، ويمكن اعتماد طريقة الحل هذه بالنسبة للحالات الأخرى .

 مثال (2) : جد تحويل لا بلاس العكسي للدالة        

الحل :بإستخدام مفكوك الكسور الجزئية

مثال (3) : جد تحويل لا بلاس العكسي للدالة          

الحل :بإستخدام مفكوك الكسور الجزئية

مثال (4) : جد تحويل لا بلاس العكسي للدالة          

* لاحظ أن للمقام جذور حقيقية وجذور تخيلية ( مركبة ) .

                   جذور المقام للدالة X(s) هي      s = -6, s = -3+4j  , s = -3-4j

بداية نجد مفكوك الكسور الجزئية للدالة (X(s  دون التعامل مع كثير الحدود  من الدرجة الثانية الذي له جذور مركبه كالآتي :-