تحويلات لا بلاس

تعرض هذه المحاضرة بعض خصائص تحويل لا بلاس :

1. الخطية لتحويل لا بلاس ( الضرب في ثابت ، المجموع والفرق ) :-

• إن تحويل لا بلاس لحاصل ضرب ثابت(C) في دالة زمنيةX(t) ، هو ضرب الثابت (C)  في تحويل لا بلاس    للدالة (X(t . 

           

• أن تحويل لا بلاس لمجموع دالتين زمنيتين ( أو الفرق بينهما ) هوحاصل جمع ( أو حاصل طرح ) تحويل لا بلاس للدالتين الزمنيتين .

إذا كان       فان لأي ثابت c1 و c2

.

البرهان :-

2- التفاضل ( الاشتقاق ) :-

· إن تحويل لا بلاس المشتقة الأولى للدالة الزمنية  x(t)هو حاصل ضرب(S) في تحويل لا بلاس للدالة x(t)    مطروحاً منx(0)  عندما تقتـــرب t من + O ، أي أن :-   

البرهان :-

تحويل لابلاس للمشتقات العليا :

البرهان :-

وبصورة عامة :-

المثال التالي يوضح كيفية استخدام تحويل لا بلاس في حل معادلة تفاضلية اعتيادية ، ومراجعة لتمثيل الحالة ، بالإضافة إلى تعريف مفهوم جديد وهو دالة التحويل للنظام .

مثال :     معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية .

حيث u  هي المدخل إلى النظام ، و   x   هي مخرج النظام .

أ‌-        أوجد تمثيل الحالة لهذا النظام .

ب – أوجد المخرجx(t)    إذا علمت أن المدخل

ج – أوجد دالة التحويل لهذا النظام .

الحل : (أ) تعريف متغيرات الحالة

(ب) نستخدم تحويل لا بلاس لحل المعادلة التفاضلية ( إيجاد الدالةا x(t)لتي تحقق المعادلة )

     يمكن استخدام تعريف لا بلاس أو جداول تحويل لابلاس

ج) دالة التحويل هي عبارة عن نسبة تحويل لا بلاس لمتغير المخرج إلى تحويل لا بلاس لمتغير المدخل ، مع اعتبار جميع الشروط الابتدائية مساوية للصفر ، أي أن :-