تمثيل الحالة و تحويل لابلاس

      تهدف هذه المحاضرة إلى :

1- توضيح المقصود بتمثيل الحالة للنظام و كيفية الحصول عليه من المعادلات التفاضلية للنظام           

2- دراسة تحويل لابلاس و خصائصه .

• تمثيل الحالة للنظام :-

في المحاضرات السابقة تعرفنا على كيفية وصف النظام الفيزيائي رياضياً من خلال الحصول على المعادلات التفاضلية التي تصف النظام .

تمثيل الحالة هو كتابة هذه المعادلات على شكل نظام معادلات تفاضلية من الدرجة الأولى .

حل هذا النظام هو عبارة عن متجه يعتمد على الزمن والذي يحتوي على المعلومات الكافية لتحديد مسار النظام الديناميكي.هذا المتجه يعبر عن حالة النظام و يتكون من متغيرات تسمى متغيرات الحالة , و المثال التالي يوضح هذه المفاهيم.

مثال (1): نظام ميكانيكي مكون من ( كتلتين , نابض , مُضائل )

في المحاضرة السابقة تم اشتقاق المعادلات التفاضلية التي تصف هذا النظام و يمكن كتابتها على الشكل التالي :-

حيث :-

المدخلات : القوة الخارجية (F )

المخرجات : موقع الكتلة ( z)

نلاحظ أن لدينا معادلتين تفاضليتين من الدرجة الثانية و بالتالي نحتاج إلى أربعة شروط ابتدائية للحصول على حل لهذه المعادلات , فعلى سبيل المثال تحديد الشروط التالية :

w (to) , dw/dt (to) , z (to) , dz/dt (to)  , يمكننا من إيجاد حل المعادلات التفاضليةt>to عندما w(t) , z(t)  .

لذلك نحتاج إلى أربعة من  متغيرات الحالة لوصف هذا النظام كالتالي:

و نستطيع أن نرمز لمتغيرات الحالة بالرمز Xi , حيث : i = 1,2,3….,4

و بإعادة كتابة المعادلات التفاضلية السابقة بدلالة متغيرات الحالة (Xi ) ينتج لدينا تمثيل الحالة للنظام كما يلي :-

و باستخدام نظام المصفوفات نستطيع كتابة المعادلات في تمثيل الحالة السابقة على الشكل الآتي:-

و يأخذ متجه الحالة الشكل التالي:-

و بشكل عام فإن تمثيل الحالة يأخذ شكلاً خطياً ( معادلات من الدرجة الأولى ) كالآتي :

حيث  x(0) معطاة

* إذا كان عدد الحالات يساوي (n ) وعدد المدخلات يساوي ( p) و عدد المخرجات يساوي (q) فإن D,C,B,A على التوالي مصفوفة مربعة

A= n xn    B= n xp    C= q xn     D= q xp