تصويغ ( تشكيل ) الأنظمة ...(تابع)

  تعرض هذه المحاضرة المزيد من الأمثلة التي تبين كيفية عمل نماذج رياضية لبعض الأنظمة الهندسية البسيطة .

  مثال (1) : التحكم بمستوى الماء داخل خزان

 هذا النظام هو عبارة عن خزان لتجميع الماء , حيث مساحة مقطعه العرضي (A),  مستوى ارتفاع السائل(h).  يدخل الماء إلى الخزان من الأعلى و يخرج من الأسفل من خلال صمام , مقاومة السائل للجريان فيه(R). معدل التدفق الحجمي إلى الخزانqi )), معدل التدفق الحجمي من الخزان (qo). كثافة السائل (الماء) ثابتة و يرمز لها بالرمز(p).  الشكل (1) يوضح هذا النظام , و يبين المقادير السابقة الذكر.

 ·         لنفترض أن المتغير الذي نستطيع تغييره للتحكم بارتفاع السائل هو(  ( qi

شكل (1)

- في البداية يجب تعريف المدخلات و المخرجات لهذا النظام بحيث :-

المدخل : معدل تدفق الحجمي إلى  النظام qi),)

المخرج :ارتفاع الماء داخل الخزان (h)

للحصول على المعادلة التفاضلية التي تصف هذا النظام, نحتاج إلى علاقة تصف هذه العملية وهي " مبدأ حفظ الكتلة ".

معدل التغير في كتلة السائل داخل الخزان = معدل تدفق الكتلة الداخل – معدل تدفق الكتلة الخارج

·        لاحظ أن هذه المعادلة التفاضلية تصف ديناميكية هذا النظام , و يظهر فيها المدخل و المخرج و بالتالي ; إذا علمنا المدخل ( (qi نستطيع حل المعادلة (1) بالنسبة للمخرج (h)

شكل (2) يمثل هذا النظام بالمخطط الكتلي التالي :-

شكل (2)

مثال (2) : نظام ميكانيكي مكون من (  كتلتين , نابض , مُضائل ) .

حيث أن القوة الخارجية (f ) تؤثر على الكتلة الأولى (m1 ) , و نرغب بالتحكم في موقع الكتلة الثانية ( m2) مع ملاحظة أن القوة الخارجية (f ) تؤثر بطريقة غير مباشرة على الكتلة الثانية .

شكل (3)

  (a)- رسم يوضح أجزاء النظام الميكانيكي . (b)- مخطط الجسم الحر لكلا الكتلتين .

·        المدخلات : القوة الخارجية ( f  )

·        المخرجات : إزاحة الكتلة الثانية (z) ; المسافة التي تقطعها الكتلة الثانية على المحور الافقي .

نطبق قانون نيوتن الثاني على كل من الكتلتين للحصول على المعادلة التفاضلية كالتالي :

شكل (4) يمثل مخطط كتلي لهذا النظام , و المعادلات التفاضلية التي تصف ديناميكيته

شكل (4)

لاحظ أن ديناميكية النظام و الممثلة بالمعادلات التفاضلية (2) و (3) تربط بين المدخلات و المخرجات للنظام.