الاستقرار ( تابع )

يعزى استقرار النظام إلى القيم الذاتية (eigen values  ) لمصفوفة النظام A, و يمكن تحديد هذه القيم من المعادلة المميزة characteristic polynomial للمصفوفة.

المصفوفة A معادلتها المميزة كالآتي

و بالتالي فان القيم الذاتية للمصفوفة A هي عبارة عن جذور المعادلة المميزة

 مثال (1) : جد القيمة الذاتية للمصفوفة التالية

المعادلة المميزة ل A

جذور المعادلة المميزة هي قيم s التي تحقق المعادلة التالية :

s = -1 , s = -2  و هي عبارة عن القيم الذاتية و في الحقيقة إن القيم الذاتية للمصفوفةA  هي عبارة عن العناصر الموجودة في قطر المصفوفة ولاحظ أيضاأن المصفوفة Aهي نفس المصفوفة في المثال السابق

و أيضا إن القيم الذاتية هي عبارة عن الثوابت المضروبة بالزمن للنظام الحر كالآتي

و كنتيجة لذلك نلاحظ إن القيم الذاتية السالبة تدلنا على أن النظام مستقر و القيم غير السالبة تعطينا نظام غير مستقر  

مثال (2): حدد إذا كان النظام مستقرا أم لا

القيم الذاتية للمصفوفة هي ((-1 , 2 و بما أن إحداهما غير سالبة فان النظام غير مستقر

تدريب :

حل المعادلات التفاضلية للمثال السابق و لاحظ أن متغير الحالة الثاني سيكبر عندما يؤول الزمن الى اللانهاية و بالتالي فان النظام غير مستقر

 مثال (3) : حلل الاستقرار للنظام التالي الذي مصفوفةA فيه  3x3

المعادلة المميزة

بوضع  تعطينا الجذور((s = -1, s = -2+4j ,s = -2-4j  

بما أن الأجزاء الحقيقية من الجذور سالبة نستنتج أن النظام مستقر