Ouille, c'est pas évident de mettre des formules de maths sur le web!.. Et zut... quel temps incroyable je perds à écrire ces pages Web! Pour qui? Pour quoi? 8^)
Bon, voici, après avoir gossé pendant plus de 2 heures, j'ai trouvé la méthode fool proof, qui lave plus blanc.
On se place dans le référentiel dont l'origine est le centre du cercle.
Les r i sont les points de touche des lignes existantes:
On détermine par la suite l'angle de la position moyenne. Il faut distinguer l'angle de la moyenne des positions de la moyennes des angles des positions, moyenne qui serait incorrecte dû à la ``discontinuité'' en thêta=0. Je m'explique. Quelle est la moyenne entre ces valeurs d'angles, +170 et -170 degrés? La réponse devrait être 180. Et entre 10 et 350 degrés? rép.: 0 Conclusion: on ne peut pas simplement additionner et diviser par deux! Cet écueil est évité en ne calculant pas la moyenne des angles mais bien l'angle de la position moyenne (faite dans le système cartésien centré sur le cercle).
La fonction thêta() correspond à l'angle de la position en coordonnées polaire, avec un angle toujours défini entre 0 et 360, jamais d'angle négatif. C'est important car on détermine par la suite la valeur minimale et maximale des angles, et alpha > bêta si alpha est plus loin sur le cercle, dans le sens trigonométrique positif (on est donc berné par les angles négatifs: il faudrait que -10 deg > 20 deg ... ce qui est le cas si -10 deg est exprimé comme +350 deg.)
Alors voilà, c'est tout! Une fois ces trois valeurs ainsi déterminées (thêta minimum, moyen et maximum) il suffit d'appliquer la condition (minimum < moyen < maximum) pour obtenir la longueur angulaire de l'arc de cercle libre d'où partir de nouvelles lignes de champ:
On peut vérifier que cette définition est correcte et adéquate en l'appliquant aux cas suivants, où les secteurs gras sont les secteurs touchés:
Les nouvelles lignes de champs débuteront par incrément d'angle positif à partir de l'angle nommé thêta inital, défini selon:
Bon, le temps passe et je réalise que j'ai mis plus de temps à rédiger cette page web (surtout les formules TeX et images anti-aliasées) qu'à trouver la solution elle-même!..