レッスン 5

問題5-1.

1次元移流方程式はいったん忘れて、拡散の方程式を解くことにします。
拡散の方程式は、次の通りです。

・・・（**）

この式を風上差分法で微分します。

	・・・（5.1）
	.
	・・・（5.2）

これらを（**）式に代入し、まとめると

・・・（5.3）

となります。
波形の初期形状は、前章の三角波を計算範囲の中央へ平行移動したものを使います。

解答例

ソースコードは省略

[ イメージ（クリックすると大きくなります。） ]

[ 動-5.1 ]

解説

方程式を差分化した式を見れば分かると思いますが、計算点の数が、若干変わるので注意してください。 結果のアニメーションは、初期波形が減衰していることがよく分かります。

問題5-2.

では、再び1次元移流方程式に戻ります。
前章では、移流速度uが正の場合と、負の場合で分けて計算をしましたが、ここでは、移流速度uの正負に関わらず使えるようにします。

問題にしている1次元移流方程式は、

・・・（5.4）

でした。この式において、uの正負に左右されて変化する左辺第2項について考えます。
左辺第2項は、

・・・（5.5）

でした。
ここで、

・・・（5.6）

となることを利用すると、

・・・（5.7）

となります。「よくまぁ、こんなことを思いつく人がいたもんだ！」と初めて見たときは、感心したものでした。それはいいとして、この関係をまとめると（各自計算のこと）、

・・・（5.8）

となります。
この式をじ〜っと見ていると、どこかで見たような見てないような形をしています。
よく見れば、上式の右辺には、前章でやった中央差分と、すぐ上でやった拡散で出てきたヤツが入ってるじゃないですか。

そう、つまり風上差分には、実は拡散項がちゃっかり含まれていたのです。だから初期波形が時間と共に減衰してしまっていたんですね。

[ ここからが問題 ]
さ、理由がハッキリしたところで、風上差分法・移流速度がプラスでもマイナスでもOKヴァージョンのプログラムを組んでください。（解答例は付けませんが．．．）

ちなみに、「じゃあ、なんで風上差分は拡散項を含んでしまうんだ？！」ってのが気になりますね。（え？気にならない？？ダメです。気にして下さい。）その理由は次の章で考えることにします。