Schriftliche Abiturprüfung 2003
Mathematik
Saarland

Aufgabe 3:

1.
An einem Badestrand werden 200 Strandkörbe vermietet. Von den Strandkörben sind 100 blau, 40 rot und 60 gelb. Familie Schmidt mietet sich morgens immer als erste einen Strandkorb. Der Strandkorb wird zufällig ausgewählt.                                                                                              

1.1 ( 1.1 )

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Strandkorbfarbe an den ersten drei Tagen gleich ist.

Lösung

Die Wahrscheinlichkeit, dreimal hintereinander einen blauen, roten oder gelben Korb zu erhalten, beträgt
, bzw. wegen der Unabhängigkeit der jeweiligen Tagesereignisse.
Da die Ereignisse unvereinbar sind, gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass die Farbe der Körbe an den ersten 3 Tagen gleich ist:
                                P =    = 0,16   = 16 %

1.2 ( 1.2 )

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die an den ersten beiden Tagen gemieteten Strandkörbe unterschiedliche Farben haben?

Lösung

Das Gegenereignis "Die Farbe der Körbe in den ersten zwei Tagen ist gleich" hat die Wahrscheinlichkeit   

 P =  = 0,38 = 38 % ;
das Ereignis hat somit die Wahrscheinlichkeit
                                         P = 1 - 0,38  = 0,62  =  62 %

1.3 ( 1.3 )

Ermitteln Sie die Mindestzahl der Tage, an denen Familie Schmidt einen Strandkorb mieten muss, damit die Wahrscheinlichkeit, wenigstens einmal einen roten Strandkorb zu erhalten, größer als 95% ist.

Lösung

Bernoullikette unbekannter Länge n mit p = = 0,2   und  k >= 1.
B(n;p;k >= 1) = 1 - B(n;p;k < 1) = 1 - B(n;p;k = 0) > 0,95
<=> 1 -  > 0,95   <=> 1 -  > 0,95  <=>  <  0,05
<=>  n·ln(0,8) < ln(0,05)   | : ln(0,8) < 0
<=>  n > = 13,4
Die Mindestzahl der Tage beträgt also 14 .

2. (2.)
Bei der Herstellung von Boulekugeln treten Fehler in der Formgebung mit einer Wahrscheinlichkeit von 2 % auf. Unabhängig davon sind einige Kugeln aus fehlerhaftem Material gefertigt. Nur 90 % der produzierten Kugeln sind völlig fehlerfrei.

2.1 ( 2. )

Aus der Produktion wird zufällig eine Kugel ausgewählt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
A : " Die Kugel hat einen Materialfehler."
B : " Die Kugel hat genau einen der beiden Fehler."

Lösung

Ereignisse:
F : "Die Kugel hat einen Formfehler"    =>   P(F) = 0,02
A : "Die Kugel hat einen Materialfehler"   =>   P(A) gesucht
P(F∪A) = 0,1 = P(F) + P(A) - P(F∩A)  => P(A) = P(F∪A) - P(F) + P(F)·P(A) wegen Unabhängigkeit
                                                                  => P(A) = 0,1 - 0,02 + 0.02·P(A)
                                                                  => P(A) = ~ 0,0816  = 8,2 %

Solve[P == 0.1-0.02+0.02 P,P]

B = (F∩) ∪ (∩A)
=>  P(B) = P( (F∩) ∪ (∩A)) = P(F∩) + P(∩A) = P(F)·(1-P(A)) + (1-P(F))·P(A) = 0,02·(1-) + 0,98·
                                                                                          =>  P(B) = 0,0984 = 9,8 %

 0.02 (1-) + 0.98 

2.2 ( -- )

Ein Warenhaus wird von zwei verschiedenen Herstellern beliefert. Die Lieferung von Hersteller 1 enthält 10 % fehlerhafte Kugeln, die von Hersteller 2 nur 9 % fehlerhafte Kugeln. Insgesamt stammt ein Drittel aller fehlerhaften Kugeln vom Hersteller 1. Welchen Anteil aller Kugeln bezieht das Warenhaus vom Hersteller 1 ?

Lösung

Die Hersteller seien mit bzw. bezeichnet, das Ereignis "Die Kugel ist fehlerhaft" mit F.
Dann sind die folgenden bedingten Wahrscheinlichkeiten gegeben:
P(F| ) = 0,1  und   P(F| ) = 0,09  und   
Gesucht ist = p.
Baumdiagramm

                         0,1   ↗   F
                       
          p               0,9  ↘                    =    =
            ↗                                                                         Auflösung nach p liefert
  •                                                                                   p = 0,3103   ~ 31,0 %
       1-p   ↘
                    0,09  ↗   F
                  
                         0,91  ↘   
                             

Solve[w*0.1/(w*0.1 + (1-w)*0.09)== 1/3 , w]

2.3 ( -- )

Bei einem Gewinnspiel wird mit einer Boulekugel auf ein in einiger Entfernung liegendes "Schweinchen" geworfen. Man setzt 50 Cent ein und darf höchstens dreimal werfen. Sobald man trifft, ist das Spiel beendet. Bei jedem Wurf beträgt die Trefferquote . Trifft man beim ersten Mal, erhält man 1 Euro, trifft man beim zweiten Mal, erhält man noch 50 Cent. Trifft man das Schweinchen erst beim dritten Mal, so werden 10 Cent ausgezahlt.
Berechnen Sie den Verlust, mit dem man in einem Spiel rechnen muss.

Lösung

Die Zufallsgröße X, die jedem Ergebnis(=Spielausgang) "Man trifft beim 1.,2.,3. Mal bzw. man trifft nicht" den erzielten Gewinn zuordnet, hat die Wertemenge
                                                            W = X(Ω) = {-0,5 ; 0,5 ; 0 ; -0,4 }        ;  (Beträge in EUR )
und  die folgende W-Verteilung
   ω=Treffer(beim) ;        0                   1.Mal               2.Mal                    3.Mal
   Auszahlung                 0                      1                     0,5                        0,1           (Einsatz = 0,5)

       x                          -0,5                    0,5                    0                         -0,4
   _____________________________________________________________________________________
   P(X=x)               =                                    · =          · · =               Summe = 1
   
Erwartungswert : E(X) = μ = · P(X = )  = (-0,5)· + 0,5· + 0 + (-0,4)·

                           E(X) =      ~  - 0,041 ( EUR )
                           Pro Spiel muss mit einem Verlust von ungefähr 4 Cent gerechnet werden.