Schriftliche Abiturprüfung 2003
Mathematik
Saarland

Aufgabe 2:

1.   
Gegeben ist eine gerade Pyramide (siehe Zeichnung) mit quadratischer Grundfläche.
Die Seitenlänge des in der -Ebene liegenden Quadrates ABCD beträgt 80 m; die
Pyramide hat eine Höhe von 60 m.

Zeichnung

g[x_]:= 0;p = Plot[g[x],{x,-60,60},PlotRange -> {-45,80},AxesLabel -> {x2,x3}];
l = Line[{{-40,-40},{30,30}}];
pol1 = Line[{{-20,20},{60,20},{20,-20},{-60,-20},{-20,20},{0,60},{20,-20}}];
pol2 =
Line[{{-60,-20},{0,60},{60,20}}];
Show[p,Graphics[l],Graphics[pol1],Graphics[pol2],
Graphics[Text[A,{21,-21},{0,1}]],
Graphics[Text[B,{63,21},{0,1}]],
Graphics[Text[C,{-19,19},{0,1}]],
Graphics[Text[D,{-62,-21},{0,1}]],
Graphics[Text[x1,{-40,-39},{0,1}]],
Graphics[Text[S,{5,65},{0,1}]],
Graphics[Text[10,{-3,-6},{0,1}]],
Graphics[Point[{-5,-5}]],
Graphics[Point[{10,0}]],
Graphics[Text[10,{10,-1.8},{0,1}]],
Graphics[Point[{0,10}]],
Graphics[Text[10,{-4,12},{0,1}]],
Graphics[Point[{-9.6,-9.6}]],
Graphics[Point[{-14.5,-14.5}]],
Graphics[Point[{-20,-20}]],
Graphics[Point[{5,5}]],
AspectRatio->Automatic];

1.1 (1.1)

Stellen Sie eine Normalengleichung der Ebene e auf, in der die Seitenfläche ABS liegt.

Lösung

Normalengleichung
Die Eckpunkte des Grundflächenquadrates ABCD sind A(40|40|0),B(-40|40|0),C(-40|-40|0),
D(40|-40|0), die Spitze der Pyramide ist S(0|0|60).
e = :    · ( - ) = 0
× = × = ( - ) × ( - ) = × =  

Damit ist ' = = 1600ein Normalenvektor der Ebene e.   => =
Die Ebenengleichung lautet:

  e:    · ( - ) = 0  <=>    · ( - ) = 0   <=>     ·    - 120 = 0

1.2 (1.2)

Berechnen Sie den Winkel, den die Ebene e: 3 + 2 - 120 = 0 (Teil 1.1) mit der Pyramidenkante bildet.

Lösung

Winkel zwischen Ebene e mit Normalenvektor = und der Geraden
: = + λ' ·    bzw.   = + λ ·
sin α =            <=>      α = 53,8°

1.3 (1.3)

Im angegebenen Koordinatensystem der Pyramide ist ein Richtungsvektor der Sonnenstrahlen
= . Der Schattenpunkt S' der Pyramidenspitze S liegt in der -Ebene. Berechnen Sie die Koordinaten von S' .

Lösung

Punktprobe bzw. Schnitt von Gerade g und Ebene =0) :
g : =   + μ· (Gerade g durch S parallel zu den Sonnenstrahlen) ; = 60 + μ· (-3) = 0
=>   = +   =      =>   S' = (40 80 | 0)

1.4 ( -- )

Wie weit ist der Punkt S'(40 | 80 | 0) von den Eckpunkten A und B der Pyramide entfernt?

Lösung

Abstand Punkt - Punkt
; A) = | |  = 40 m    (Siehe Zeichnung)
; B) = | |   =  | - |  = | -  | =| | = =  40 m   ~  89,4 m

1.5 ( -- )

Begründen Sie:
Jeder Punkt der Pyramidenhöhe hat von den vier Seitenflächen der Pyramide den gleichen Abstand.
Bestimmen Sie den Punkt von , der sowohl von den vier Seitenflächen als auch von der Grundfläche der Pyramide den gleichen Abstand hat.

Lösung

Begründung
Die Pyramidenhöhe ist Winkelhalbierende der von der Spitze S (nach links und rechts bzw. nach vorne und hinten) ausgehenden Symmetrieachsen der jeweils einander gegenüber liegenden Seitenflächendreiecke.
ODER:
Bei einer 90°-Drehung der Pyramide um die Achse, auf der die Pyramidenhöhe liegt, geht die Pyramide in sich selbst über; jeder bei einer solchen Drehung unveränderliche Punkt auf der Pyramidenhöhe hat somit von jeder Seitenfläche jeweils denselben Abstand.

Abstand des Punktes P(0 | 0 | a) ∈ von der Ebene e = (siehe 1.1 und 1.2):
Der gesuchte Abstand ist also a (0 < a < 60 ).
e:   3 + 2 - 120 = 0   <=>    · - 120   =  0   (ANF)
Hessesche Normalenform (HNF) von e:  · - d = 0
Es muss gelten:
d(P;e) = a  <=> | · - d | = a  

Mathematica ermittelt: | | = | | = a  <=> a = =   ~  21,4 m .
Ergebnis: P(0 | 0 | 21,4)

2. ( 2. )
Zeigen Sie mit den Mitteln der Vektorrechnung:
In einem Trapez, in dem die eine Grundseite doppelt so lang ist wie die andere, teilen sich die Diagonalen im Verhältnis 2 : 1 .
Hinweis: Die zueinander parallelen Seiten eines Trapezes heißen Grundseiten.

Lösung

pol1 = Line[{{-4,-1.5},{4,-1.5},{2,1.5},{-2,1.5},{-4,-1.5}}];
pol2 = Line[{{-4,-1.5},{2,1.5}}];
pol3 = Line[{{4,-1.5},{-2,1.5}}];
pol4 = Line[{{-2,1.5},{0,-1.5}}];
Show[Graphics[pol1],Graphics[pol2],Graphics[pol3],Graphics[pol4],
Graphics[Text[A,{-4,-1.5},{0,-1}]],
Graphics[Text[B,{4,-1.5},{0,-1}]],
Graphics[Text[C,{2,1.5},{0,1}]],
Graphics[Text[D,{-2,1.5},{0,1}]],
Graphics[Text[S,{0,0.5},{0,1}]],
Graphics[Text[2a,{0,-1.5},{0,-1}]],
Graphics[Text[a,{2,-1.5},{0,-1}]],
Graphics[Text[a,{-2,-1.5},{0,-1}]],
Graphics[Text[a,{0,1.5},{0,1}]],
Graphics[Text[b,{3.2,0},{0,-1}]],
Graphics[Text[a+b,{-3.6,0},{0,-1}]],
AspectRatio->Automatic]

Polygon- bzw. Vektorzug (Rundlauf) im ΔABS:
+ + =                = 2 + ; = -   ; = λ · ( - ) ;   = μ· (2+ ); = -

<=>     2 + λ· ( - ) - μ· (2+ )  =
<=>     2 + λ - λ  - 2μ - μ  =

<=>    (2 - λ - 2μ)   +  (λ - μ)   =     

da    , lin. unabhängig sind  =>   2 - λ - 2μ  =  0    und     λ - μ  =  0                                
Daraus ergibt sich
λ = μ =

Ergebnis: Die beiden gesuchten Teilverhältnisse haben also den Wert  : = 2 : 1 .              

Solve[{ 2 - λ - 2μ == 0 , λ - μ == 0 },{λ,μ}]

3D-Bild der Pyramide

Lösung