Schriftliche Abiturprüfung 2003
Mathematik
Saarland

Aufgabe 1:

1.   Gegeben ist die Funktionenschar
       : .

1.1 (1.1)

Geben Sie die Definitionsmenge D in Abhängigkeit von k an und zeigen Sie, dass für alle x ∈ D gilt:
= .

Lösung

Die Definitionsmenge lautet D = IR \ {-k} .

Definieren wir zunächst die Funktionenschar

1.Ableitung (x) :

2.Ableitung (x) :

Es gilt D = D' = D'' .

1.2 (1.2)

Bestimmen Sie  die Funktion der Schar, deren Graph an der Stelle -6 einen Extrempunkt hat.

Lösung

notw. Bedingung: bzw.  

     In[10]:= Solve[f'[x]==0,x]

     In[11]:= Solve[f'[-6]==0,k]

     In[12]:= f''[-3 k]
             f''[-6]/.k->2

     In[14]:= f[-3 k]

Da für k <> 0 stets ungleich null ist, liegt an der Stelle x= - 3k stets ein Extrempunkt.

1.3 (1.3)

Diskutieren Sie die Funktion .
       : ---->  IR ; x |----> .

Lösung

1.    Die maximale Definitionsmenge ist     = D = D' = D'' = IR\ {-2} .
       Im Folgenden heißt die zu diskutierende Funktion f.

2.     Ableitungen

     In[19]:= f'''[x] // Simplify

3.     Einfache Symmetrie
        Keine der zu untersuchenden Symmetrien aufgrund der asymmetrischen
        Definitionsmenge.       

4.     Nullstellen
        a) Nullstellen von f

     In[20]:= Solve[f[x]==0,x]

        b) Nullstellen von f '

     In[21]:= Solve[f'[x]==0,x]

        c) Nullstellen von f ''

     In[22]:= Solve[f''[x]==0,x]

5.   Lokale Extrempunkte, Monotonieintervalle

     In[26]:= f'''[0]

Monotonieintervalle:
ist streng monoton wachsend in  ] -∞ ,] und ], ∞ [
ist streng monoton fallend in  [,[

6.    Wendepunkte, Krümmungsintervalle

     In[30]:= f'''[0]

Wendepunkt ist somit    ( 0 | 0 ) = Sattelpunkt (wegen f ' (0) = 0) .    

Krümmungsintervalle
            Der Graph von ist rechtsgekrümmt in ] [ , ] -2 ,0 ]
            Der Graph von ist linksgekrümmt in [0 , ∞[

7.     Pole
        -2 ist Polstelle 2.Ordnung, daher ohne VZW; = - ∞ .

8.  (Grenz-)Verhalten/Asymptoten :

9.  Graph

1.4.1 (--)

Ermitteln Sie für eine beliebige Funktion der Schar den Extrempunkt und weisen Sie die Art des Extremums nach.

Lösung

Nach 1.2 ist x = -3k lokale Extremstelle, d.h. =0 . Ferner gilt für k < > 0.
Somit liegt für k > 0 ein Maximum vor : Hochpunkt ist H(-3k|)
                 für k < 0 ein Minimum vor :  Tiefpunkt   ist T(-3k|)

Da für k < > 0 stets ungleich Null ist, liegt an der Stelle x = - 3k stets ein Extrempunkt.

1.4.2 (--)

Bestimmen Sie die Gleichung der Ortskurve, auf der die Extrempunkte aller Funktionen der Schar liegen.

Lösung

|) , also x = -3k <=> k =
                                y = ==
Gleichung der Ortskurve : y = x

1.4.3 (--)

Zeigen Sie: Für jedes k ∈ entsteht der Graph der Funktion aus dem Graphen der Funktion durch Spiegelung am Koordinatenursprung.

Lösung

Durch Spiegelung an O wird jeder Punkt des Graphen auf abgebildet.
Zu zeigen ist: Für alle k ∈ ist

1.5 (--)

Der Graph von und seine schiefe Asymptote schließen zwischen ihrer Schnittstelle und der Stelle 0 mit der y-Achse eine Fläche ein. Schraffieren Sie diese Fläche im Koordinatensystem des Aufgabenteils 1.3 und berechnen Sie deren Inhalt.

Lösung

Schnittstelle
Die Schnittstelle von Graph und Asymptote ist x = -.

Berechnung des Flächeninhaltes

     In[46]:= N[%]

Offensichtlich ist A = ln(729)-4 = = 6 ln(3) - 4  ~ 2,6 FE.

2.    In untenstehender Abbildung ist der Querschnitt einer bzgl. der y-Achse rotationssymmetrischen Vase dargestellt.

Der im 1.Quadranten liegende rechte Rand wird durch eine Funktion mit der Gleichung g(x) = a (a,b ∈ IR) beschrieben.

Lösung

2.1 (--)

Ermitteln Sie die Parameter a und b so, dass man den dargestellten Graphen erhält.

Lösung

2.2 (--)

Begründen Sie, dass mit Hilfe dieser Wurzelfunktion der Übergang zum zylinderförmigen Teil der Vase ohne Knick, wie es in der Abbildung dargestellt ist, beschrieben wird.

Lösung

Es ist       g(x)  =  2  =  2  =   .

Es ist       g'(x)  =   =   .
Damit ergibt sich
= ∞.
Der Graph der Wurzelfunktion g(x) hat im Punkt (2 | 0) eine senkrechte Tangente, so dass in diesem Punkt ein stetiger und glatter Übergang zum zylinderförmigen Teil vorliegt.

2.3 (--)

Berechnen Sie das Volumen der Vase für a = 2 und b = -2.

Lösung

Das Volumen der Vase setzt sich aus dem Rotationsvolumen und dem Zylindervolumen zusammen:   V = +
Rotationsvolumen :
= = π
mit  g(x) = y = a <=> x =- b     bzw.
                y = 2  <=> x = + 2
folgt   = π
Zylindervolumen :
= G·h = π ·h

Das Volumen der Vase beträgt somit

V = π = 41π  ~ 131,5 (VE).

     In[59]:= N[ π]

Bild der Vase

Lösung